Quantas vezes conseguem dobrar um papel?

Vamos imaginar que dobramos um enorme pedaço de papel ao meio. Depois dobramos mais uma vez, e outra vez, e assim por diante. Quantas vezes conseguimos dobrar o nosso pedaço de papel?

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Normalmente conseguimos dobrar uma folha A4 apenas 6 vezes e dificilmente se consegue dobrar um pedaço maior mais do que 7 vezes. Experimentem!
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Mas vamos imaginar que conseguimos dobrar um pedaço de papel 51 vezes. No final qual seria a espessura do nosso papel? Dez centímetros? 50 centímetros? Um metro? Cinquenta metros? Um quilómetro?
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A resposta é mais de 150.000.000 km! Sim, cento e cinquenta milhões de quilómetros! No final obteríamos uma torre que se estenderia para lá do Sol!
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Quando dobramos o papel a primeira vez obtemos uma espessura duas vezes maior do que a da folha inicial. Quando dobramos a segunda vez será quatro vezes mais espesso. Cada vez que dobramos uma vez duplicamos a espessura em relação ao dobramento anterior. Depois dos primeiros dobramentos os números tornam-se imediatamente muito grandes. Vamos ver como:
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Primeira dobra...2 folhas

Segunda dobra... 4 folhas

3ª - 8 folhas

4ª - 16 folhas

5ª - 32 folhas

6ª - 64 folhas

7ª - 128 folhas

8ª - 256 folhas

………….

40ª - 1.000.000.000.000 folhas

…………

50ª - 1.000.000.000.000.000 folhas (espessura=100.000.000 km)

51ª – Espessura = 200.000.000 km

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E passámos o Sol!

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(Distância da Terra ao Sol = 149.597.871 km )

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Adaptado de: Burguer, E.D. and Starbird, M., 2005. Coincidences, Chaos and All That Math Jazz. Norton. New York

Fractais

Já escrevi aqui sobre fractais. Também a Wikipédia tem bons artigos sobre o tema: aqui em português e aqui em inglês.

Coisas da Matemática (II) – O número pi (π)

Há uns tempos escrevi sobre o π. Hoje apeteceu-me voltar a ele um bocadinho. Li sobre ele no livro que ando a ler, foi pesquisar um pouco à net e cá estou eu de volta do π outra vez.

O π é dos números mais enigmáticos que alguma vez foi descoberto. Os primeiros cálculos de π terão sido feitos na Babilónia, cerca de 1800 anos a.C., que consideravam que π tinha o valor de 3, o que naquela altura era uma boa aproximação.

Em 1700 a.C., os Egípcios perceberam que a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro é o mesmo para qualquer circunferência, e que esse valor é nem mais nem menos π.

O π tem, como todos sabemos, um valor aproximado de 3,14. No entanto, ele é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a razão entre dois números inteiros naturais. Para além de irracional é também um número transcendente, o que formalmente quer dizer que não é raiz de nenhuma equação polinomial a coeficientes inteiros. Isto na prática quer dizer que é impossível exprimir π com um número finito de números inteiros, de fracções racionais ou suas raízes. Apenas podemos saber o valor aproximado do π, pois não conseguimos prever o seu valor à medida que formos considerando um número cada vez maior de casas decimais.

Actualmente conhecem-se mais de 50 mi milhões de casas decimais de π. Podemos perguntar: mas então não saber exactamente o valor de π não tem problemas práticos, como por exemplo na engenharia ou na física teórica? A resposta pode dar-se com um exemplo: é apenas necessário conhecer 39 casas decimais de π para calcular “o perímetro de um circulo que cerque o universo conhecido com um erro que não ultrapassa o raio de um átomo de hidrogénio”.

Bibliografia:

-O homem que só gostava de números, Paul Hoffman, Colecção Ciência Aberta, Gradiva nº105.

-http://pt.wikipedia.org/wiki/Pi

Coisas da Matemática (I) - Paul Erdős

Grande parte dos "posts" que aqui coloco são reflexo quase directo dos livros que tenho na cabeceira ou das notícias em que tropeço na net. Nos últimos tempos tenho andado cheio de trabalho não tenho podido passar muito tempo a ler notícias de ciência, coisa que gosto muito de fazer. Talvez por isso não tenha tido muita inspiração para escrever.

E então em relação aos livros que tenho na cabeceira? Tenho andado fascinado com um! Leio devagar para o saborear. O livro chama-se "O homem que só gostava de números", de Paul Hoffman, e trata da vida de um dos maiores matemáticos que o mundo já viu: Paul Erdős (ver foto).

Paul Erdős viveu entre 1913 e 1996, tendo nascido em Budapeste na Hungria. Colaborou com centenas de cientistas em todo o mundo e com a idade de 70 anos produzia uma média de 40 artigos científicos por ano. As suas grandes paixões eram, entre outras, a combinatória e a teoria dos números, e trabalhou a apaixonadamente na teoria do números primos (números naturais que apenas têm dois divisores: 1 e eles próprios). As incríveis capacidades matemáticas de Erdős revelaram-se cedo. Aos 3 anos conseguia calcular rapidamente quantos segundos os amigos da família tinham vivido.

Paul Erdős viajou pelo mundo com apenas duas malas na mão, onde cabiam todos os seus bens materiais. Tinha como objectivo descobrir o que estava escrito no Livro. Segundo ele, o SF (que queria dizer Supremo Fascista, o seu nickname para Deus), tinha um livro onde estavam escritas as leis do Universo e essas leis estavam escritas na linguagem da matemática.

Bibliografia:

O homem que só gostava de números, Paul Hoffman, Colecção Ciência Aberta, Gradiva nº105.

Wikipédia: http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_ErdÅ‘s

Teorema do mapa de quatro cores

O teorema do mapa de quatro cores diz que não são necessárias mais de quatro cores para pintar qualquer mapa plano concebível, de países reais ou imaginário, de tal modo que dois países vizinhos não tenham a mesma cor.

A demonstração deste teorema é considerado um dos maiores feitos da matemática moderna. Este foi um dos primeiros grandes teoremas a ser provado usando um computador, no entanto esta prova não é ainda aceite por todos os matemáticos visto ninguém o ter conseguido demonstrar usando apenas papel e caneta.

Em meado do século XIX os matemáticos pensavam que este teorema era verdadeiro, tendo sido proposto como conjectura em 1852 por Francis Guthrie, que se apercebeu enquanto pintava o mapa dos condado de Inglaterra que apenas necessitava de quatro cores. Durante mais de 100 anos matemáticos de todo o mundo atacaram o problema com unhas e dentes tendo sempre falhado na sua demonstração.

No livro O Homem Que Só Gostava de Números, Paul Hoffman conta a história de um matemático, chamado E.F. Moore, que teve durante uns tempos como objectivo de vida encontrar um contra exemplo. Todos os dias chegava ao trabalho, na AT&M, com uma folha gigante de papel com mais de um metro quadrado onde tinha cuidadosamente desenhado um mapa com milhares de países. "Hoje vou conseguir", dizia ele pela manhã, "vou provar que são precisas 5 cores". Ao fim do dia saía desiludido. Mas na manhã seguinte lá estava ele com um lençol cheio de minúsculos e intrincados países imaginários.

Foi apenas em 1976 que a conjectura foi finalmente demonstrada por Kenneth Appel e Wolfgang Haken na Universidade de Illinois. Quando isto aconteceu reza a história que muitos professores de matemática terão interrompido as sua aulas para abrir uma garrafa de champanhe. No entanto muitos matemáticos não ficaram contentes, pois a descoberta tinha sido feita usando 3 supercomputadores durante mais de 1000 horas. Na realidade Appel e Haken demonstraram que todos os mapas possíveis eram variações de 1500 tipos fundamentais, e os computadores conseguiram pintá-los a todos com um máximo de quatro cores. Há quem acredite ainda que este teorema pode ser demonstrado com papel, lápis e umas poucas folhas.

Bibliografia:

- Four color theorem, Wikipédia

- O Homem Que Só Gostava de Números, Ciência Aberta, Nº105, Gradiva.

4D - Quatro dimensões

Projecção a 3D de um 24-cell a rodar

Estes objectos fascinam-me. Mas para além da sua componente estética permitem-nos saborear um mundo que não conhecemos. O mundo das dimensões superiores a 3. Algumas das mais promissoras teorias físicas, como a teoria de cordas (em português aqui), prevê que o Universo deve ter bem mais de 3 dimensões (10, 11 ou 26 dependendo das diferentes versões). Para quem quiser saber um pouco mais de 4D fica aqui um link em Inglês e aqui um link em português.

Quando o improvável acontece!

Uma das grandes dificuldades de qualquer cientista é a de compreender como funcionam os processos que levaram à formação do Universo, do Planeta Terra e da Vida. Talvez a maior dificuldade seja compreender como o nosso Universo (ou Multiverso!) funciona do ponto de vista matemático. Esta dificuldade prende-se em parte com as nossas limitadas capacidades intelectuais.

As probabilidades e o acaso têm sido dos conceitos mais mal compreendidos pelo homem. Ontem quando lia o livro "O Acaso", de Joaquim Marques de Sá (da Gradiva) encontrei um fabuloso exemplo desta situação: Quando o improvável acontece.

Se considerarmos uma experiência aleatória que consiste no lançamento de uma moeda honesta ao ar em que saíram 20 caras (seja 1=cara e 0=coroa), ao observarmos a sequência

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,

temos sensação que algo importante aconteceu. Esta sequência é extremamente improvável. Temos a tendência de "achar" que no vigésimo primeiro lançamento a probabilidade de sair coroa é maior. Este "achómetro" denomina-se "falácia do jogador". Noutras situações é grande a tentação de atribuir uma causa mágica a certas sequências altamente organizadas como:

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,

ou

0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1.

No entanto estas sequências têm exactamente a mesma probabilidade do que qualquer outra de 20 lançamentos: (1/2)^20 = 0,00000095367.

Se repetirmos a experiência dos 20 lançamentos um milhão de vezes, a esperança de obter tais sequências (ou quaisquer outras) é de n x p = 1000000 x 0,00000095367 ≈ 1!!

Existe elevada certeza de sair em média uma vez tais sequências aparentemente improváveis se repetirmos a experiência um milhão de vezes.

"A conclusão a tirar é que, dado um número suficientemente grande de experiências, o «improvável» acontece: sequências altamente organizadas, aparecimento da vida num planeta ou a nossa própria existência."

Um das razões pelas quais nos custa tanto compreender o aparecimento da vida, a sua complexidade e principalmente a evolução é a de não termos a noção de tempo geológico, cuja unidade é «1 Milhão de Anos». É muito tempo! Se considerarmos a idade do Universo, cerca de 15 mil milhões de anos a probabilidade de um qualquer evento de organização da matéria, por mais improvável que seja, tem uma "probabilidade" praticamente infinita de ocorrer!

Se considerarmos que o nosso Universo tem apenas uma fracção do tempo do Multiverso a que pertencemos então aí as possibilidades tornam-se monstruosas!

Texto adaptado de Joaquim Marques de Sá, em "O Acaso" (Gradiva, Ciência Aberta, nº154).

Pi

PI é a mais antiga constante matemática que se conhece. É também um dos poucos objectos matemáticos que, ao ser mencionado, é reconhecido por praticamente qualquer pessoa alfabetizada.

Na matemática, π é um número transcendente (e, portanto irracional), representa a relação entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. É representado pela letra grega π.

Considerando o comprimento de uma circunferência e o diâmetro, temos:

Pi tem o valor aproximado de:

3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592

π é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a razão entre dois números inteiros naturais. A irracionalidade de π foi demonstrada em 1761 por Johann Heinrich Lambert.

Além de irracional, π é um número transcendente, o que foi provado por Ferdinand Lindemann em 1882. Isso significa que não existe um polinómio com coeficientes inteiros ou racionais do qual π seja uma raiz. Como resultado disso, é impossível exprimir π com um número finito de números inteiros, de fracções racionais ou suas raízes.

Foi Euller quem, em 1737, tornou conhecido o símbolo para o número pi. Foi também nesta época que os matemáticos conseguiram demonstrar que é um número irracional.

O recorde de cinco triliões de casas decimais para o valor de pi foi quebrado por um adolescente americano de 17 anos. Colin Percival, usando microcomputadores, completou a última etapa dos cálculos em setembro de 1998. Vinte e cinco microcomputadores, colocados à disposição de Percival por colaboradores em várias partes do mundo, auxiliaram-no a realizar os cálculos.

O projecto PiHex, por meio do qual Percival conquistou o seu recorde, parte agora para um novo desafio - calcular 40 triliões de casas do pi. Estima-se que serão necessários 10 anos para completar a tarefa. Bem, isto depende muito da velocidade dos processadores, pois a cada dia que passa estão mais rápidos. Se quiser participar, entre aqui.